【問題】
直線$y=x-2$が円$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=5$によって切り取られる線分の長さを求めよ。

【指針】

【解説】

【解答】
$y=x-2$
$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=5$
とすると, (1)より
$x-y-2=0$
直線(1')と円(2)の中心$(1,1)$の距離を$d$とすると,
$$\begin{array}{}\text{(1)}& d& =\frac{|1-1-2}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}& =\frac{2}{\sqrt{2}}& =\frac{(\sqrt{2}{)}^2}{\sqrt{2}}& =\sqrt{2}\end{array}$$
ここで, 円(2)の中心を$O$、直線(1')と円(2)の交点をA, Bとし, 線分AMの中点をMとすると,
直線(1')と円(2)の関係は下図のようになる.

ここで, $\mathrm{△}\mathrm{OAM}$において, 三平方の定理により,
$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\mathrm{AM}}^2& ={\mathrm{OA}}^2-{\mathrm{OM}}^2& ={\mathrm{OA}}^2-d^2& ={\sqrt{5}}^2-{\sqrt{2}}^2& =3\end{array}$$
$\mathrm{AM}>0$より, $\mathrm{AM}=\sqrt{3}$.
よって求める線分の長さは,
$$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathrm{AB}& =2\mathrm{AM}& =2\sqrt{3}.\end{array}$$