【問題】
直線$y=x-2$が円$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 5$によって切り取られる線分の長さを求めよ。

【指針】

【解説】

【解答】
$y = x-2 \tag{1}$
$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 \tag{2}$
とすると, (1)より
$x- y - 2=0 \tag{1'}$
直線(1')と円(2)の中心$(1, 1)$の距離を$d$とすると,
\begin{align}
d &= \frac{|1-1-2}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}\
&= \frac{2}{\sqrt{2}}\
&= \frac{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}}\
&= \sqrt{2}
\end{align}
ここで, 円(2)の中心を$O$、直線(1')と円(2)の交点をA, Bとし, 線分AMの中点をMとすると,
直線(1')と円(2)の関係は下図のようになる.

ここで, $\triangle \mathrm{OAM}$において, 三平方の定理により,
\begin{align}
\mathrm{AM}^2 &= \mathrm{OA}^2 - \mathrm{OM}^2\
&= \mathrm{OA}^2 - d^2\
&= \sqrt{5}^2 - \sqrt{2}^2\
&= 3
\end{align}
$\mathrm{AM}>0$より, $\mathrm{AM} = \sqrt{3}$.
よって求める線分の長さは,
\begin{align}
\mathrm{AB} &= 2\mathrm{AM}\
&= 2\sqrt{3}.
\end{align}