等差数列

「公差」とは何か？
等差数列って、次々と同じ数を足していく、っていうのがポイントでしたよね。
実はこの足していく数には名前がついてて、「公差」といいます。

例えば、例1。
7, 9, 11, 13, $\cdots$
これ前から2ずつ足していってるわけですが、
この「2」を「公差」というわけです。

じゃあ、例2は問題です。
9, 4, -1, -6, $\cdots$
この数列、公差は？と聞かれたら？そうです。-5ずつ足していってるので、この-5が公差というわけです。

あれ？「公」差の「こう」って、漢字、おおやけ？と思った人。ちょっと不思議ですよね。
これには理由があるんですが、これについてはまた次、にやろうと思います。

等差数列の公差が「項」差じゃなくて、「公」差なのはなぜでしょうか？

等差数列の「公差」って、「公」って、「おおやけ」って漢字じゃないですか。
これ、えっ、ちょっと、、しっくり来ないかも、、って思いませんでしたか？
実はこれ、英語をそのまま日本語にしてるからなんです。
「公差」は英語で「a common difference」っていいます。

んで、この
「common」を「公」。
で「difference」が「差」
でもって、「a common difference」、「公差」というわけです。

ま確かに、
「a common road」で「公道」。という感じで、
「common」には「公共の」という意味があるんですけど、、
までも「common」には「共通の」っていう意味もあるわけですよ。そっち方が本来の意味に近いというか、分かりやすかったんじゃないかな<いや文句じゃないですよ？
まぁまぁ使っていけばすぐなれますけどね。
という、今回はちょっとした豆知識でした。

等差数列で一番大事な要素って何だと思いますか？
「公差」っていうのが、目立っちゃう気もするんですけど、
実は「初項」と「公差」の2つ、セットで大事というのがポイントなんです。

例えば、こんな等差数列。
8, 11, 14, 17, $\cdots$
これ、公差は？そうです。3ですよね。
もちろんこの公差の3は大事なんですけど、これ公差3だけだと足りないんですよ。
よーし、3ずつ足していくぞーって言っても、(ぇ)何に足していくの？ってなるじゃないですか。
あくまで、初項、スタートあってこそ、数列が始まっていくわけです。
そんなわけで、等差数列で一番大事なのは、「初項」と「公差」、セットなわけです。
そして、この2つセットですよという認識が、実はこのあとの一般項の話でもポイントになるんです。

等差数列の一般項の感覚をつかんでみましょう
初項と公差だけから第4項を計算で求めてみます。

問題。初項2、公差3の等差数列、この第4項は？
具体的に、2, 5, 8みたいに書いてないので心許ないですが、
さぁまず第2項はいくらでしょう？
第2項は初項に公差を1回足せばいいんですよね。なので、初項2+公差3\times 1。この\times 1は1回分の1です。
じゃあ、第3項は？今度は初項に公差を2回分足せば良いわけですから、2+3\times2 。
同じ感じで、第4項は？初項に公差を3回足す、ので、2+3\times 3 です。
という感じで全部同じ計算で求められますよね。
実はこの計算の感覚が、一般項の感触へとつながっていくんです。

具体的な等差数列をつかって、一般項の形に到達してみましょう

例として、初項-5、公差4の等差数列で考えてみます。
これ初項の-5に無理矢理、公差4を入れ込んでみると、
$-5+4\times 0$ と書けます。
これは初項-5に、公差4を0回足しましたよーという、0回をあえて入れてる形です。
こうやって書けば、全ての項が同じ形で書けるようになります。

$-5+4\times$ここまでは、全部一緒。
でこれに、初項だったら$\times$0、第2項なら$\times$1、第3項は2、第4項3
という感じで掛けていけば良いんです。第3項の3とか第4項の4から1引いた数を掛けていってます。
この感じで行くと第30項とか第50項とか、いくらでもいけそうじゃないですか？

等差数列の「ほぼ一般項」を手に入れましょう。
分かります。ネーミングは微妙です。
いきなりですが問題です。

初項-1、公差3の等差数列、この第50項はいくらでしょう？
等差数列の各項は全部同じ形で表せるんでした。
初項は $-1+3\times 0$
第2項は $-1+3\times 1$
第3項は $-1+3\times 2$
第4項は $-1+3\times 3$
ということは、第50項は？
第50項は $-1+3\times$....$50じゃなくて、49ですね。1ずつ少ないですから。
計算すれば、149です。

ちょっとまどろっこしい感じもしますが、こうやって感触をともなって求められれば、一般項はもう分かったも同然というところまで来ています。