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最小公倍数がぱっと浮かぶようになるには？
【質問回答】相関係数を求めるときごちゃごちゃする問題を解消！
弦の長さを求める問題
【問題】
直線$y=x-2$が円$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 5$によって切り取られる線分の長さを求めよ。
【指針】
【解説】
【解答】
$y = x-2 \tag{1}$
$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 \tag{2}$
とすると, (1)より
$x- y - 2=0 \tag{1'}$
直線(1')と円(2)の中心$(1, 1)$の距離を$d$とすると,
\begin{align}
d &= \frac{|1-1-2}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}\
&= \frac{2}{\sqrt{2}}\
&= \frac{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}}\
&= \sqrt{2}
\end{align}
ここで, 円(2)の中心を$O$、直線(1')と円(2)の交点をA, Bとし, 線分AMの中点をMとすると,
直線(1')と円(2)の関係は下図のようになる.
ここで, $\triangle \mathrm{OAM}$において, 三平方の定理により,
\begin{align}
\mathrm{AM}^2 &= \mathrm{OA}^2 - \mathrm{OM}^2\
&= \mathrm{OA}^2 - d^2\
&= \sqrt{5}^2 - \sqrt{2}^2\
&= 3
\end{align}
$\mathrm{AM}>0$より, $\mathrm{AM} = \sqrt{3}$.
よって求める線分の長さは,
\begin{align}
\mathrm{AB} &= 2\mathrm{AM}\
&= 2\sqrt{3}.
\end{align}
3次方程式の実数解の解の個数とグラフ
極値の存在と増減表
$k$を定数とする。関数$\displaystyle f(x) = \frac{e^{4x}}{2}+ke^{2x} + 2x$について, 次の各問いに答えよ。ただし, $e$は自然対数の底である。
( 1 ) $t = e^{2x}$とおくとき, $\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)$を$t$の式で表せ。
( 2 ) 関数$y=f(x)$が極値をもつような定数$k$の値の範囲を求めよ。
( 3 ) ( 2 )のとき, 関数$y=f(x)$の極大値と極小値の和が$-9$以上になるような定数$k$の値の範囲を求めよ。
(2)の解答
2次関数をつくるまで
2次関数部分〜答え
合同式の計算1
関西学院大 理工 2018 3次方程式
問題
$i$を虚数単位とし, $p$, $q$を実数の定数とする。方程式$x^3+px^2+qx-4=0 \cdots\cdots (\ast)$が$x=1+i$を解にもつとき, $p=\fbox{ア}$, $q=\fbox{イ}$である。また, 方程式$(\ast)$は$x=1+i$の他に虚数解$x=\fbox{ウ}$と実数解$x=\fbox{エ}$をもつ。
解答
