演習問題1

数列「2, 5, 10, 17, ...」の一般項を求めてください。

解答

まず、この数列の階差数列を求めてみましょう。それは「3, 5, 7, ...」となります。これは前回の例題と同じ階差数列です。よって、この階差数列の一般項は $d_n = 2n + 1$です。

次に、元の数列の一般項を求めます。階差数列の一般項から元の数列の一般項を求めるためには、階差数列の一般項の累積和を求めます。つまり、$a_n = \Sigma_{i=1}^{n}d_i = \Sigma_{i=1}^{n}(2i+1)$となります。

これを計算すると、$a_n = n^2 + n + 1$となります。よって、元の数列の一般項は $a_n = n^2 + n + 1$です。

演習問題2

数列「1, 3, 6, 10, ...」の一般項を求めてください。

解答

まず、この数列の階差数列を求めてみましょう。それは「2, 3, 4, ...」となります。これは等差数列です。よって、この階差数列の一般項は $d_n = n + 1$です。

次に、元の数列の一般項を求めます。階差数列の一般項から元の数列の一般項を求めるためには、階差数列の一般項の累積和を求めます。つまり、$a_n = \Sigma_{i=1}^{n}d_i = \Sigma_{i=1}^{n}(i+1)$となります。

これを計算すると、$a_n = \frac{n(n+1)}{2}$となります。よって、元の数列の一般項は $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$です。